一个数学问题:当一半的孩子来自“三个和四个孩子的家庭”时，人口会增加还是减少？

当谈到人口趋势时，人们经常听说中国的生育率一点也不低，我们的儿童班里独生子女不多，许多学生有兄弟姐妹，还有一些有几个。那么在这种情况下，生育率真的很高吗？一般来说，生育率是指每个家庭的平均子女数。让我们通过一个假设的例子来讨论生育率估计中的错觉。

假设一个幼儿园班有14个孩子，其中3个是独生子女，4个来自两个孩子的家庭，3个来自三个孩子的家庭，4个来自四个孩子的家庭，那么他们的父母平均有多少个孩子？换句话说，他们父母的生育率是多少？

在这个小班的14个孩子中，只有3个是孩子，不到总数的1/4。有7个家庭，有3个孩子和4个孩子，占总数的一半。看到这种情况，许多人的直觉是，这些孩子的父母有太多的孩子，因此人口将会增加。这种直觉可靠吗？

要估计这个小班父母的平均子女数，一个自然的想法是对子女的兄弟姐妹数进行算术平均。这里的分母是班上的14个孩子，分子是包括他们自己在内的所有孩子的兄弟姐妹的总和，即

1*3 2*4 3*3 4*4 = 36

由此产生的生育率为

36/14 = 2.57

，也就是说，按照这种估算方法，每个家庭平均有2.57个孩子，给人的直观印象是孩子比父母多，人口会增加。

但事实上这只是一个幻觉，这个算法严重高估了生育率这是因为生育率反映了每个家庭的平均子女数，所以基本抽样单位是家庭，而不是单个子女。如果将幼儿园班级作为整个社会的样本，那么将选取14个孩子而不是14个家庭。

提取家庭和提取孩子有什么区别？当一个家庭被抽中时，被抽中的概率是相同的，不管一个家庭有多少个孩子。当提取孩子时，有更多孩子的家庭更有可能被抽取。因此，为了根据子女、兄弟姐妹的数量来估计生育率，需要考虑每个家庭的子女数量对家庭被抽取的概率的影响。

既然一个N子家庭对应N个孩子，我们同样可以说一个N子家庭的孩子对应1/N个家庭根据这种关系，每个独生子女对应一个家庭，两个孩子家庭的每个孩子对应1/2个家庭，三个孩子家庭的每个孩子对应1/3个家庭，四个孩子家庭的每个孩子对应1/4个家庭

因此，幼儿园班级中的14个孩子对应于

3 * 4* 3 * 4 * = 7

个家庭由此可以计算出，平均每个家庭有

14/7 = 2

个孩子，远低于之前计算的2.57个孩子。根据数学语言，

在这里被计算为班级中所有孩子家庭中兄弟姐妹数量的调和平均数，包括他们自己，也称为倒数平均数之前的计算是每个孩子家庭中兄弟姐妹人数的算术平均数。

当人们做出直觉判断时，自然会默认一个孩子代表一个家庭并使用算术平均值，从而给出一个与多孩子家庭中的孩子数量成比例的权重，但真正应该使用的是调和平均值。这是因为对于一个有N个孩子的家庭，N个孩子可以代表一个家庭，这相当于一个孩子代表1/N个家庭。简而言之，当根据子女、兄弟姐妹的数量来判断生育率时，人们的直觉感觉接近算术平均值，但实际上应该使用调和平均值。

如果每个孩子的家庭中有同样多的兄弟姐妹，调和平均数等于算术平均数。例如，如果班上所有的孩子都是独生子女，算术平均值和调和平均值都是1，那么他们的父母平均只有一个孩子。例如，如果班上所有的孩子都来自两个孩子的家庭，算术平均数和调和平均数是2，他们的父母平均是两个孩子。

，但是，如果孩子有不同的兄弟姐妹，则调和平均值必须小于算术平均值。不同家庭之间的子女数量差异越大，算术平均数就比调和平均数大，而高估生育率的幻觉就越严重。假设例

9第2部分中的人口趋势前面的例

表明，对于每个孩子的兄弟姐妹数量等数据，我们应该使用调和平均而不是更直观的算术平均来估计上一代的生育率。如果孩子有不同的兄弟姐妹，谐波平均值必须小于算术平均值。

，但是，应该指出，即使使用调和平均数，生育率仍然会被高估，因为那些不育和无子女的家庭不包括在分母中。

下图显示了该幼儿园小班儿童家长的可能情景。图中，七对夫妇有孩子，其中一对有四个孩子，一对有三个孩子，两对有两个孩子，三对有一个孩子。换句话说，7个家庭已经生了14个孩子，生育率为2这与上一节通过谐波平均法计算的生育率相同。

图1: 8个家庭生育了14个孩子

。然而，考虑到目前我国每8对夫妇中就有1对不育，这一数字还包括1对无子女夫妇。在这种情况下，前八代夫妇只有14个孩子，生育率只有1.75此外，因为出生时男孩比女孩多，而且不是每个女孩都能活到出生的最后，所以实际上出生时有16个以上的父母。如果上一代最初有17个人，而孩子有14个人，这相当于每一代人减少17.6%，每两代人减少32.2%)

在人口统计学中，更替水平是指保持子女数量与父母数量相等所需的生育率。根据出生性别比和中国妇女的存活率，中国的生育率更替水平约为2.15，这意味着每对夫妇平均需要生2.15个孩子，才能使子女数量与父母数量持平。

相对于2.15的更替水平，图中1.75的生育率意味着每代减少18.6%，每代减少33.7%。换句话说，即使一半的孩子来自有三四个孩子的家庭，而只有不到四分之一的孩子是独生子女，人口也可能会减少而不是增加。有些人可能会说这个例子中的许多孩子来自同一个家庭，这与现实不符。例如，四个四个孩子家庭的孩子来自同一个家庭。如果他们来自不同的家庭，使用谐波平均法可能是错误的。但这实际上是一个误解在上一节的算法描述中，我们没有提到这些孩子来自相同或不同的家庭，因为这根本不影响计算结论。

只要每个记录代表孩子的兄弟姐妹数量，算术平均数就反映了每个孩子的平均兄弟姐妹数量，包括他自己，而不是每个家庭的平均孩子数量。这两个概念看起来相似，但实际上却不同。无论数据来自一个样本还是一个完整的人口，我们都应该用调和平均数而不是算术平均数来估计每个家庭的平均子女数。

为了让读者更熟悉这一点，我们假设整个社会每100个孩子中，就有35个独生子女，20个来自有两个孩子的家庭，20个来自有三个孩子的家庭，15个来自有四个孩子的家庭，10个来自有五个孩子的家庭。孩子父母的生育率是多少？

人直观地感到生育率是算术平均数，即

/100 = 2.45，

，但合理的估计应该是调和平均数，即

100/ = 1.742

如果八分之一的夫妇没有孩子，实际生育率只有1.524在这个例子中，尽管许多孩子来自有四个和五个孩子的家庭，生育率仍然远远低于更替水平。

第三部分中国生育率的幻觉

前面的例子表明，即使两个甚至三个或四个孩子很常见，实际生育率可能已经远低于更替水平。这可以在其他国家得到验证。例如，到日本旅游的人会发现，有两个甚至三个孩子的家庭在东京地铁和关西农村地区都很常见，而独生子女却很少见。但是日本实际上是世界上生育率最低的国家之一。根据日本官方数据，日本的生育率在过去10年间一直在1.26至1.45之间。没有人质疑日本统计数据的准确性1992年，当本文作者之一黄第一次去霍普金斯大学攻读博士学位时，他与一位美国同学就中国的计划生育政策发生了争执。这位同学斯特林·希尔顿来自一个提倡多生孩子的大家庭。他有九个兄弟姐妹，他的妻子有七个。这对夫妇当时的目标是五六个孩子，但最终他们只有四个孩子，包括一个被收养的黑人孩子。他们的9个兄弟姐妹有43个孩子在早期的辩论中，黄的立场是维护计划生育。然而，当他毕业后在哈佛教书时，他意外地在易富贤看到一篇文章，列出了世界上一些国家的生育率，并发现东亚的生育率几乎是最低的。这使他意识到所谓的中国人特别喜欢有孩子是完全理所当然的，因此他开始怀疑整个人口政策的方向。之后，他发现所有支持生育的观点都是似是而非的。乍看之下，它们非常合理，但经过深入分析，它们都站不住脚。因此，2010年回国后，黄开始关注人口问题，并于2012年开始与本文另一位作者就人口问题进行合作，呼吁取消生育限制，大力鼓励生育。同年

，黄回忆起他和同学斯特林的争吵。他通过互联网找到了对方的电子邮件，并发了一封电子邮件告诉对方他以前的观点是错误的。现在他呼吁废除中国的生育限制。斯特林收到电子邮件后非常高兴，并回复了一封附有以下家庭照片的长信这是他父亲的生日，他的父母和他们所有的年轻一代和配偶出席并拍照。照片里有57个人，如果年轻一代和他们的配偶都在这里，那就有80个人。黄本人是60岁以后出生的独生子，他只有一个女儿。他的父亲和斯特林的父亲年龄差不多。如果那时他父亲过生日，家里就只有五个人，斯特林父亲的全家福只有1/16在这里。

图2:斯特林·希尔顿的父母和他们的后代，以及其他23个人都没有露面

根据直觉，周围的美国人有这么一个大家庭。美国人口应该爆炸吗？但事实上，美国的生育率只是在更替水平之前，甚至低于近年来的更替水平。

中国社会对中外生育率的比较有非常矛盾的反应无论是在街上、景点，甚至是在农村，许多人都会惊讶地看到有许多孩子的中国家庭，而他们会认为在发达国家看到有两三个孩子的外国父母是理所当然的。然而，谈到生育率，许多人固执地认为中国的生育率高于发达国家。例如，2000年的人口普查显示，中国的生育率处于非常低的水平。一些学者质疑中国的生育率怎么会低于欧洲。

事实上，即使在国内媒体上也能偶尔看到关于欧洲家庭的报道例如，2019年10月20日，英国《镜报》报道称，一对英国夫妇兴奋地宣布，他们的第22个孩子将于明年4月出生尽管多子女家庭在英国很常见，但现在英国的生育率不到2。中国互联网上大多数关于这种多子女的外国家庭的评论都是正面的，有羡慕的，也有祝福的。相比之下，对中国多子女家庭报道的评论相对负面，甚至有些读者认为中国的生育率仍然过高。

这种想当然的想法，除了前面提到的直觉上高估生育率的幻觉之外，还有长期“一胎化”政策的可能性，这使得许多人默认为一个家庭只有一两个孩子的正常状态。在这种潜意识的背景下，那些见证了三四个孩子的所谓“超级出生”家庭很容易造成巨大的心理冲击。

对生活在大城市的人的影响尤其强烈。他们通常只有一个孩子，但他们看到来自其他地方的年轻人不断涌入。当他们得知许多农村青年有几个兄弟姐妹时，他们的自然反应是，经过这么多年的计划生育，怎么会有这么多"超生"？结果，他们会错误地认为农村有太多的孩子。

但是，即使农村地区的年轻人通常有几个兄弟姐妹，我们前面的例子也表明，这并不意味着当年的生育率有多高。此外，农村地区的独生子女并不少见，这反过来表明中国农村地区的生育率已经远低于更替水平。过去20年左右的数据一再证明了这一点。农村生育率急剧下降的背后是

大量农村人口来到城市工作和生活，面临着更大的生活压力。他们脱离了以前的亲友氛围，持家、养儿防老的观念也相应弱化。与此同时，农村地区的社会和经济发展水平正在逐步提高，抚养孩子的现实和机会成本正在增加。过去十年或二十年的无数调查显示，中国农村地区比日本和韩国更不愿意生育。农村生活富足的时代早已过去。中国的生育率和人口趋势毫无疑问，中国的生育率处于非常低的水平。尽管农村地区的生育率高于整个城市，但仍远低于更替水平。随着城市化的推进，农村人口在总人口中的比例将继续下降。这意味着农村地区较高的生育率对总生育率的贡献将比城市地区更小。到2018年中国的城镇化率是60%假设农村地区的生育率比城市地区高30%，即使农村和城市地区的生育率保持不变，城市化率从60%上升到80%将导致总生育率下降5.4%。

二孩政策实施后，出生人口一再大幅低于官方预期，进一步证实了中国的低生育率。根据国家统计局的数据，2018年出生的人口为1523万，相应的生育率为1.46。然而，那一年出生的人口中有很大一部分来自二孩政策的累积效应。由于只有一个孩子可以生两个孩子，而且根据目前生育意愿的趋势，只有一半生了一个孩子的家庭最终可能会生两个孩子，所以当生育率稳定时，两个孩子的数量只有一个孩子的一半左右。然而，在2018年出生的人口中，有两个以上的孩子。这意味着2018年1.46的总生育率中约有1/4可归因于暂时积累效应。排除这一因素，自然生育率仅为1.1

的判断并不奇怪，因为在长期的生育限制下，中国城市已经把生一个孩子作为正常的默认选择，而农村地区正在效仿城市。这是人类历史上前所未有的现象。韩国社会不像中国那样将一个孩子视为默认选择。调查数据还显示，韩国家庭的理想子女人数超过2人，高于中国农村。然而，根据最新数据，韩国的生育率已降至1.0以下。有什么理由认为中国的自然生育率会显著高于韩国？

在经历了60年的高出生率后仍然普遍存在，超低出生率导致的出生雪崩不会显示中国总人口的显著减少。然而，如果生育率保持在1.1的超低水平，不仅出生人口，而且总人口将在每一代不到30年的时间里减少49%。按照这个速度，10亿人口将在30年内急剧下降到5亿。从长远来看，中国的人口规模优势将在几代人后消失。

的衰减率可能超过许多人的预期，因为在生育率不变的情况下，人口变化是指数型的。对于指数变化，人们往往高估短期趋势，低估长期趋势。

谈到了指数变化，许多人都熟悉这样的故事，把1粒米放在棋盘的第一格中，把2米放在第二格中，然后把每个格中的米粒数加倍，直到第30格中有10.7亿粒米。反过来想想这个故事，也就是说，如果每一代人减半，10亿人口将在30代人之后不到1000年内完全消失。当然，这只是对当前趋势的简单推断。如果在完全自由化后大力鼓励生育，特别是减轻抚养家庭的负担和使年轻人愿意生孩子，那么未来大幅提高生育率并非完全不可能。

我们想用这篇文章来说明的是，当人们觉得有三个或四个孩子的家庭的孩子非常普遍时，生育率可能不在更替水平。当人们觉得有两个孩子的家庭有很多孩子，但经常看到只有孩子时，生育率远低于更替水平，出生人口正在迅速减少。当人们觉得独生子女很普遍时，生育率已经处于超低水平，毫无疑问，出生人口正在迅速减少。

事实上，只有当周围地区普遍都是有三四个孩子的家庭的孩子时，有一个或没有孩子的家庭造成的赤字才能得到弥补，国家才能继续存在。如果你理解这篇文章对生育率被高估的错觉的解释，你应该意识到中国社会离这种能维持国家正常生育的生育状态有多远。