圆周率公式_圆的面积公式是怎么得到的？

对于任何圆，其面积S等于π和r 2的乘积换句话说，任何圆的面积与其半径的平方之比都是常数π那么，这个结论是从数学上严格证明的，还是一种数学直觉？

事实上，圆面积公式(S = π r 2)可以用数学方法严格证明。中国古代数学家和古希腊数学家都证明了这个公式。证明圆面积公式的方法有很多。这里有几个简单的例子。(1)极限方法一

如果一个圆被分成n个相等的部分，那么它被拼接成一个四边形，如下所示:

当n接近无穷大时，也就是说，圆被分成无限个相等的部分，那么四边形变成一个矩形显然，这个矩形的长度是半圆的周长(πr)，宽度是圆的半径(r)。这个矩形的面积等于圆的面积，所以圆面积的公式是:S=πr？r=πr^2

，然而，为了完成这样的证明，圆周公式(C=2πr)必须首先得到证明。根据相似三角形原理，用几何方法很容易证明圆的周长与直径之比是相同的常数，即周长比。(2)极限方法2

将圆分成N个相等的部分，并连接每个扇区的半径与圆的交点假设每个扇区的中心角为2θ，2θ=2π/n

检查其中一个三角形OAB。根据三角函数，OC=rcosθ，AB=2rsinθ，三角形OAB的面积为

S△OAB = 1/2 AB OC = R2 SINθCOSθ

当N接近无穷大时，圆的面积可以表示为

S = LIM(N →+∞)N S△OAB

根据极限原理，S = π R 2可以计算(3)积分方法一

严格来说，这也是一种极限方法，但这里圆的面积是由圆的方程严格计算的(x2+y 2 = r 2):

(4)积分方法二

如果圆被分成许多厚度为dr的薄环，则每个环的面积为简而言之，圆的面积与半径的平方之比是π，这是由严格的数学证明的，而不是经验公式。