无理数的概念_无理数和虚数在现实世界里并不存在，但它们都很有用

自从爱因斯坦诞生以来，著名的质量能量公式E =δmc2是根据光速不变原理，用质量速度公式推导出来的。从这个公式可以看出，一旦任何物体或粒子有质量缺陷，损失的质量和释放的能量就有这种确定的关系。用爱因斯坦的话说，就是:“质量就是能量，能量就是质量。”“这也意味着能量可以产生粒子，然后这些粒子形成物体。任何已经产生的物体和粒子都会产生质量缺陷，并全部转化为能量。否则，我们生活的宇宙永远存在，它的年龄应该是无限的，但这与宇宙的有限年龄相矛盾，宇宙的有限年龄超过100亿岁。因此，无论大爆炸宇宙学是否正确，在我们生活的宇宙中，任何组成物体的粒子都不可能凭空产生，而只能由能量产生！因此，我们不妨首先假设在我们生活的宇宙中产生的任何物体和粒子都是无限可分的，这意味着没有任何物体和粒子可以完全分离，即永生？这也意味着任何质量有限的粒子都可以无限分裂，释放出无限的能量？这不仅与“一切事物都有产生、发展和消亡的过程”的辩证法相矛盾，而且至少与质量和能量公式的本质相矛盾！

表明，任何构成物体的粒子都不是无限可分的，总是有最小的粒子，也有最小的尺寸，将其尺寸设为ε，即尺寸量子

由于古希腊数学家芝诺提出的著名的龟兔赛跑悖论，为了便于理解，可以简单地描述为:在测量误差可以忽略不计的前提下(最大误差被认为是可测范围内有意义的最小长度，即普朗克长度，约为1.6x10-35m，比原子核直径(10-15m ~ 10-14m)小得多)，乌龟先爬上一段路，兔子开始追赶假设它的速度是乌龟的10倍，并且它们都以恒定的速度向前移动，那么当兔子在乌龟爬之前完成10米的旅程时，乌龟向前爬1米，当兔子完成1米时，乌龟向前再爬0.1米，当兔子完成0.1米时，乌龟向前再爬0.01米...按照这个逻辑，兔子和乌龟之间的距离会越来越小，直到它变得无穷小，兔子永远也追不上乌龟！对于这个问题，数学家们的解释大致如下:尽管兔子不得不追逐无尽的距离，但每一距离所花费的时间构成了收敛序列。假设兔子的速度是每秒10米，无限时间的总和是1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+…= 10/9(秒)，也就是说，在眨眼之间，数学家们已经回避了另一个显而易见的问题，那就是，兔子如何能在有限的10/9秒内跑完这无限的距离？它的速度是无限的吗？明显矛盾！也不符合现实这表明现实世界中的空间距离不能无限分割，现代物理学理论也认为空间和时间不能无限分割，而且还有一个最小长度，将其大小设为ε’，即长度量子，而空间距离也是最小长度的整数倍！

，因为普朗克长度只是当前技术条件下最小的可测量长度，所以两个量子必须小于普朗克长度(约1.6×10-35m)因此，任何颗粒的尺寸必须是ε的倍数，并设置为Mε’+nε(M是一个较大的正整数，Mε’在这里表示任何颗粒沿尺寸方向的间距之和，n是一个较大的数字，因为具有最小尺寸ε的固体颗粒的形状可能是不规则的，而沿其他方向的尺寸可能大于ε，所以将每个固体颗粒沿所有方向的尺寸设置为Mε(M≥1)， 那么n = m1+m2+…+MK，k是更大的正整数)，并且空间中的任何长度必须是ε’的正整数然而，无限小数是特殊变量，它无限增加，增加得更慢，并且可能有极限值，如0.333...= 0.3+0.03+0.003+...，它们的极限值是1/3，无理数√ 2 = 1.414213562...= 1.4+0.01+0.004+0.0002+0.00001+...，它们的极限值不存在。因此，ε，ε和ε’必须是有限小数。当然，m只能是有理数，n也是有理数也就是说，空间中任何粒子和任何长度的真实大小必须是整数或有限小数！

因此，任何时间任何物体的任何尺寸都可以用Mε′+m1ε+m2ε+…+Mnε的形式表示(其中M和n是较大的正整数，其中每个尺寸Mε代表沿着每个具有最小尺寸ε的固体颗粒的尺寸方向的每个尺寸)，其中Mε′代表沿着构成物体的基本颗粒(分子、原子或离子)的尺寸方向的距离的总和。M1ε+M2ε+…+锰ε代表这些基本粒子沿维度方向的尺寸总和。显然，总和是一个整数或一个有限小数，所以:任何对象的真实大小也必须是一个整数或一个有限小数！然而，应该注意的是，对于实空间中的任何圆，让它的半径为r，它的最小弧长为ξ (ξ是ε’，ε中较小的一个)。根据弧的定义，微弧的中心角为ξ/r弧(或180ξ/πr度)。因为r可以取任何大的有限小数或整数，所以在真实空间中没有最小的弧(或角)!也就是说，空间中任意自由角的弧度(或角度)值是连续的(没有其他图的封闭图)。当然，因为弧度(或角度)只能是整数或有限小数，所以它们在数轴上的对应点似乎少了许多无理数和无限循环小数的对应点，但这与其连续值并不矛盾，因为上面已经说过无限小数是一个特殊变量，根本不是严格的数。事实上，所有的有限小数都可以填满这些“空点”，比如取任意一个无理数√ 2 = 1.414213562...当它变成1.414时，数字轴上已经有1.414了！当它达到1.41421时，数轴上已经有1.41421了！......最终，所有的无限小数都将被无限多的有限小数从数轴中驱逐出去，因为整个数轴都被整数和有限小数填满了！因此，只有数轴上的无限整数和有限小数的点才能占据整个实数轴！当然，这与现代物理理论“空间和时间不能无限分离”并不矛盾，因为实际的空间距离是离散的此外，半径r为常数的任何圆的弧度(或角度)都是可以界的，并且有一个最小值ξ/r弧度或180ξ/πr度，并且这些值又是不连续的。

可以由此推导出，对于现实世界中的任何物体或粒子，其任意两维或更多维，在被转换成相同的单位后，它们的加、减、乘(如物体所占据的面积和体积)必须是整数或有限小数，但在除以至少两维(如上述表示两个长度的多重关系)后，结果必须以分数形式书写，并且分数包括可以被转换成无限循环小数的数，如上述例子中的1/3同样，各种空间长度之间的关系也遵循这一规则。因此，在整个现实世界中，数量只能是一个整数或一个有限的十进制数，数量之间的关系只能是一个有理数！也就是说，在整个现实世界中，没有无理数和虚数！可见，古希腊著名数学家毕达哥拉斯拒绝承认无理数的存在是合理的

但是，因为一切都是根据一定的规律产生的，它们都是合理的，所以无理数和虚数也是合理的。它们至少极大地简化了操作，即使它们只能高度近似真实世界的空间形式和数量关系。其中，在日常计算或研究中，用无理数符号逼近长有限小数时，书写和计算都非常方便，计算量大大减少，效率提高；此外，它的位数是无限的，精度可以任意调整，直到满意为止。例如，当用√2来近似一个等腰直角三角形的斜边长度时，它比用一个长的有限小数串来近似它的真实长度要方便得多。如果需要保留三位小数，可以直接取近似值√2为1.414，如果需要保留四位小数，也可以直接取近似值1.4142。作为另一个例子，当遇到类似于1.41422×1.73209×2.449499×8.88的估计的结果时，8.88×√2×√3×√6的计算结果，即53.28，可以非常快速地用于替换它。

复数知识有点难以入门。它以纯虚数为基础，定义为Z=a+bi，a，b是实数，I 2 =-1，虚数单位I在现实世界中也不存在当它的虚部b=0时，复数就是实数。当它的虚部b≠0时，它就是一个虚数。如果a=0，虚数就是纯虚数尽管在现实世界中不存在虚数，但在复平面中，虚轴与虚轴之间的对应关系表示轴上的单位长度，其中任何复轴z=a+bi(a=Re(z)，b=Im(z))对应于平面中的点(a，b)，并且对应于起点为原点且终点坐标为(a，b)的向量。参见图1(向量的长度是模|z|，复数的θ是向量和正实轴之间的夹角。即复数z的发散角)，所以它遵循向量的一些算法，例如向量的加法和减法以及向量的乘法。这些算法可以用于简单的计算，即对于任何两个复数z1、z2、z1+z2，z1-z2是平行四边形的对角向量，其中z1、z2或-z2作为复平面中的相邻边，并且它们的起点都是原点，而对应于kz1(k是任何实数)的向量与z1在相同的方向上，并且模数长度是z1的k倍(见图2)。因此，当执行平面向量的这种运算时，可以看出

图1中复数的坐标代表

图2的几何图

复数的加减，实数乘以复数当任意两个复数z1，z2(z1，z2≠0)相乘或除时，从图1可以看出，由于z = a+bi = √ (a 2+b 2) × (cos因此，z1z2 = | Z1 | | z2 | e I (θ 1+θ 2)，Z1/z2 = | Z1 |/| z2 | e I (θ 1-θ 2)(见图3)，可以看出，当复数被转换成指数形式用于乘法和除法运算时，只需要简单的模乘和除法以及简单的轮辐角的加减，这可以简单地记录如下:当两个复数相乘时， 与产品相对应的向量逆时针旋转一个角度(可以小于或等于0)，模块长度可以改变； 当两个复数被除时，对应于商的向量顺时针旋转一个角度(该角度可以小于或等于0)，并且其模式长度也可以改变与一般的多项式形式和三角形式运算相比，运算强度有所降低

图3复数乘法和除法的几何图形

因此，虽然复数中的虚数在现实世界中不存在，但它们在简化运算方面有很大的好处。更重要的是，它们还广泛应用于自然科学，如物理学(如电磁学)和其他工程技术。例如，在电学中经常会遇到一种简单的问题:已知一个电路的某个节点与三个支路相连，两个支路流入该节点。电流为i1=10√2 sinωt，i2=20√2sin(ωt+π/3)。可以获得从节点流出的电流I和经历的时间t之间的正弦关系。此时，根据基尔霍夫电流定律，即对于电路中的任何节点，流入该节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，得到I = i1+I2 = 10√2 sinωt+20√2 sin(ωt+π/3)。显然，用三角公式展开然后计算更麻烦。在这种情况下，可以用欧拉公式将其转换成复数表达式，I = i1+I2 = 10e I . 0+20e I .π/3 = 20+10√3。I = 10 √ 7，即I φ，φ=反正切√ 3/2 ≈ 40.89，即正弦量的相量表示(电流符号变为大写字母，顶部加一个点)，因此I = im[√2ⅹ10√7，即Iφⅹe Iωt]≈10√14 sin(ωt+40.89)

由此表明，在整个现实世界中，数量大小只能是一个整数或一个有限的十进制数，而数量之间的关系只能是一个有理数！尽管现实世界中不存在无理数和复数，但因为一切都是根据一定的规律产生的，所以它们都是合理的，无理数和虚数也是合理的。它们至少极大地简化了操作，即使它们只能以高度近似的方式反映现实世界的空间形式和数量关系。

值得注意的是，数学不仅要研究现实物质世界的空间形式和数量关系，还要研究精神世界的空间形式和数量关系。例如人类或动物意识、情感、情绪和其他心理现象的数学模型举两个简单的例子，例如:我今天感到无限的幸福！描述这种“无限幸福”的数学工具只能是无限小数，包括无理数。如果幸福度继续加深，变化过程只能用高等数学中的无穷大(无穷大)来精确表达。又如，这个人几乎没有缺点！用来描述这种近乎完美的人的性格特征的数学工具只能是大于0且小于“比1小得多的数”的无限小数。如果他们的品质继续提高，变化的过程只能用高等数学中的无穷小来描述。又如，当描述一个人不切实际的幻想时，纯虚数B1可以用来准确地描述，当复数a的实部=0时，当b>。0，B值越大，偏执越深；当无穷大时，因为事情会逆转，当B开始小于0时，就意味着这个人生病了。绝对值越大，疾病就越严重。当无限时，意味着死亡。显然，当b=0时，这个人停止了思考当这个多疑的人开始变得实际时，他可以用虚数a+bⅰ(a≠0，b≠0)来描述它。实用程度越高，a越大，a > 0；当A是无限的时候，成为极端现实主义者的人可能会生病。如果事情变得更好，因为事情必须逆转，A开始小于0，这个人开始成为一个有一些现实生活经验的理想主义者。当A的绝对值越大，理想趋势越严重。当A是无穷大时，成为极端理想主义者的人也会生病。如果情况变好了，因为事情必须逆转，那么A的值又大于0...如果脑洞很大，想象很丰富，可以定义为“思维量”或“智慧量”在增加，只能用纯虚数B I (B ≥ 0)。可以看出，无限小数和虚数能够准确地描述精神现象的数量关系或空间形式，可以称之为精神数。因此，数学科学应该是一种关于物质和精神世界的相对精确的数学哲学(例如，在自然数的范围内，1加1只能等于2，而这种算法是一种数值运算哲学；再举一个例子，在欧几里德几何中，三角形的内角之和只能等于180度，这个定理是关于几何形状的测量哲学！它可以与传统的自然科学和社会科学保持同步。