数学初二数学题_初二数学培优题精讲：求满足最值条件的动点坐标，这题学霸都说难

求出满足条件的点的坐标是初二数学正交坐标系这一章的重要问题类型，希望对例题详细解析利用轴对称性质求解三角形周长值最小的点坐标的解题方法，对初二学生的数学学习有所帮助。 例题

如图所示，在平面正交坐标系中，当点a、b的坐标分别为( 1，4 )和( 3，0 )，c为y轴上的一个动点，并且a、b、c这3点不在同一直线上，△ABC的周长最小时，求出点c的坐标。

问题解决过程:

点a关于y轴是对称点a′，并且连接点a′c

根据主题的条件，点a和点a '为y轴对称，点a的坐标为( 1，4 )，点a '的坐标为(-1，4 )；

根据轴对称的性质和主题的条件，从轴对称的点到对称轴上的点的距离相等，如果点a和点a '为y轴对称，则ac=a'c；

根据主题的条件和结论，如果δABC的周长=AC+BC+AB，ac=a'c，则δABC的周长=ac'+bc+ab；

根据主题的条件，点a、b的坐标分别为( 1，4 )和( 3，0 )，线段a、b的长度为固定值

根据结论，△ABC的周长=ac'+bc+AB，线段ab的长度为固定值时，( ac'+bc )达到最小值时，△ABC的周长取最小值

因此，a′、b、c这3点在同一直线上时，△ABC的周长取最小值。

连结a'b，与y轴和点c相交，连结AC，越过点a '与a'd⊥x轴和点d相交

根据主题中的条件和结论，点a '的坐标为(-1，4 )，a'd⊥x轴，a'd=4，OD=1；

根据主题条件，点b的坐标为( 3，0 )，OB=3

根据结论，OB=3，OD=1，BD=OB+OD=4

根据等边对等角的性质和结论，a'd=4，BD=4，并且da ' b =∩DBA '；

根据主题条件: A'D⊥x轴、x轴⊥y轴、∠A'DB=∠BOC=90°；

根据结论，∠a'db=90°，∠da'b=∠DBA '，a ' db +-da ' b +-DBA ' = 180°，∠da'b=∠DBA'=45°；

根据结论，∠BOC=90°，∠dba'=45°，∠boc+∠dba'+bco=180°时∠BCO=45°；

根据等角对等边的性质和结论，∠dba'=45°，∠BCO=45°时OC=OB；

根据结论，OB=3、OC=OB、OC=3

根据主题的条件和结论，c在y轴上，OC=3，点c的坐标为( 0，3 )。

结语

用于解决该问题的关键是创建点a的轴对称点，利用轴对称性对三角形边长进行等量转换，根据三点线段和最短原理确定满足条件的移动点c的位置，利用等边对称性求出点c的坐标。