对于刚进入初中一年级的学生来说,数学学习马上就被数轴引入了数字和形状的结合,一种贯穿整个初中的数学思维方法,第一次出现了。绝对值的出现增加了另一种分类和讨论的思想。当数形结合的思想与分类讨论的思想相结合时,有理数的最终问题就迫在眉睫了。
华
华我国著名数学家曾说过:当数缺少形式时,它就不那么直观;当数字缺乏形式时,更难精确;数字和形状的结合非常好,在分离和分离之后,一切都将被切断。
然而,在初中一年级的数学学习中,数字和形状的组合是如何使用的呢?
让我们先看下面的材料:
点A和B分别代表数轴上的实数A、B,A和B之间的距离代表AB。
当A和B点中的一个在原点时,我们也可以把点A设在原点,如图A,AB = OB =√B√A-B √;
当点A和点B都不在原点时,
①如图B所示。点A和点B在原点的右侧,AB = OB-OA = | B |-| A | = B-A = | A-B |;
②如图c所示,点a和b在原点的左侧,ab = ob-OA = | b |-| a | =-b-(-a)= | a-b |;
③如图d所示,点a和b在原点ab = OA+ob = | a |+| b | = a+(b) = | a-b |的两侧。
综上所述,数轴上的距离ab = √ a-b √ .
(2)回答了以下问题:数轴
(1)上代表2和5的两点之间的距离为_ _ _ _ _ _,数轴
上代表-2和-5的两点之间的距离为_ _ _ _ _ _,数轴
上代表1和-3的两点之间的距离为_ _ _ _ _ _;
(2)数轴上代表X和-1的两点分别是点A和点B,那么A和B之间的距离是_ _ _ _ _ _。如果AB=2,则X = _ _ _ _
③当代数表达式∠ x+2 ∠ x-5 ∠取最小值时,x的对应值域为.
④当代数表达式|x-1|+|x+2|+|x-5|取最小值时,x的对应值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
⑤当代数表达式|x-5|-|x+2|取最大值时,x的对应值域为
。②|x+1|、-3或1;③-2≤x≤5;④1;⑤x≤-2在理解了数字和形状结合的基本概念之后,看看它的综合应用。这是初中第一天第一卷最后一道题的常客。如果你掌握得好,你就离满分不远了!
综合使用
知道数轴上三个点m、o和n的对应个数分别为-2、0和4,p点是数轴上的任意一点,对应个数为x 。( 1)如果p点到m点和n点的距离相等,则x值为;在
(2)轴上是否有一个点p,使得从点p到点m和点n的距离之和为7?如果是,求x的值;如果不存在,请解释原因;
(3)如果点P以每秒6个单位长度的速度从点O向右移动,点M和点N分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右移动,并在3点钟同时开始,然后几秒钟后,点P到点M和点N的距离相等。
[测试点]单变量方程的应用;数字轴;两点之间的距离。
几何移动点问题。
[分析]
(1)根据三个点m、o、n的对应个数,得到NM的中点为:x=(﹣3+1)÷2,然后就可以得到。
(2)可分别根据点N右侧的点P或点M左侧的点P计算。
(3)设置t秒后从点p到点m和点n的距离相等,则点p表示的数字是6t,点m表示的数字是-2+t,点n表示的数字是4+3t。根据PM=PN建立方程,并求解。
[解]
解:(1)轴上三个点m、o、n对应的数分别为-2、0、4,p点到m点和n点的距离相等,存在
(2);设p表示的数为x,当p在点m的左边时,
①,PM+PN=7,651232-x+4-x = 7,得到x =-2.5,当p在点n的右边时,
②,x+2+x-4 = 7,得到x = 4.5有一点符合问题的意思。此时,x =-2.5或4.5.
(3)将从点P到点M和点N到T秒的距离设置为相等,则点P表示的数字是6t,点M表示的数字是-2+t,点N表示的数字是4+3t,点
表示的数字是从问题的意义来看的PM=PN,然后是6t-(-2+t) = | 4+3t-6t |,T = 6t
这个问题主要考察单变量方程和数轴的应用。关键是要理解问题的含义,显示两点之间的距离,并列出方程式。
通过使用数字和形状组合的方法。