实数_不用加减乘除如何描述实数?

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有许多定义实数的方法,其中许多都是等价的然而,如果我想放弃所有的代数结构,只使用序数结构来定义它们,会发生什么?(也就是说,只考虑大小关系,而不考虑加法、减法、乘法和除法等运算)首先,我需要一个完全有序的集合——这种集合中的任何两个元素都可以在大小上进行比较自然数

就是这样的集合,每个自然数都有一个后继数然而,我们希望自然没有端点,所以我们添加了“没有最大元素和最小元素”的条件那么,整个数字就诞生了然而,这样的集合有太多的间隙,并且每两个连续的整数之间有间隙。

我们需要填补这些空白,所以我们需要打破每一个整数都有一个前导或后继的状态。因此,我们要求在任何两个不同的元素之间有另一个元素:这个属性叫做(序数)密度

请参阅:有理数很密集然而,有理数仍有许多“小洞”为了填补这些漏洞,我们需要“完整性”:每个有界子集都有一个上限和一个下限实数满足这个性质,填补这些空白的数字被称为无理数。


但是,我们仍然需要添加一个条件,即如果有一系列不相交的开区间,那么这一系列开区间最多是可数的。所以有这样一个问题:这些属性能描述实数吗?

这就是“苏斯林假说”(SH)Schuslin假设,如果一个有序集满足上述所有条件,它与实数(一般意义上的实数)同构吗(这里,顺序同构)

你可能已经猜到,在ZFC公理系统下,苏丝林假设是不可判定的

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