数学中的和点_ 数学中的两个“怪胎”——莫比乌斯带和克莱因瓶

数学是严谨的，但它通常是神奇的。在逻辑思维的驱动下，它有时会产生一些奇怪的结果。今天推出的莫比乌斯带和克莱因瓶是两个典型的例子。它们看起来奇怪而扭曲，但它们确实是可以存在的东西，这也从侧面证明了我们空间的多样性。

莫比乌斯带应该是许多人听说过的东西。它可以通过将一张矩形纸扭转180度并粘合而获得。这是德国数学家在1858年首次发现的有些人可能会问，这样一个简单的过程能实现什么，有什么奇怪的吗？

莫比乌斯带看起来非常简单，但我们可以推断出许多神奇的结论首先，莫比乌斯带是典型的无向拓扑空间。更具体地说，如果一个人走在莫比乌斯带上，当他回到起点时，他可能会站在原点的另一边，而不会越过边界。这时，他变成了原来的镜像这样，麦比乌斯带似乎只有一张脸。

如果有一个二维生物生活在莫比乌斯带上，当他继续沿着自己的空间行走(没有回到原来的道路)，当他回到原来的地方，它会发现自己是自己的镜像，也就是说，虽然他回到起点，但他不再是自己。对于这种生物，莫比乌斯带是封闭的，它不能通过穿越边界本身来实现镜像对称。嵌入三维空间的莫比乌斯带的魔力可能还不够明显，所以我们也引入了“克莱因瓶”

1882，德国著名数学家克莱因？(费利克斯·克莱因)后来发现了以他命名的著名“瓶子”克莱因瓶可以形象地描述为:瓶子在底部有一个孔，延伸到瓶子顶部并扭曲到瓶子内部，但不与瓶子相交，然后与底部连接像莫比乌斯带(Mobius belt)一样，克莱因瓶也是一个没有方向的空间，像球体一样无法区分内外，比莫比乌斯带更“扭曲”。有些人可能会想，一个人怎么能不与瓶子相交就进入瓶子呢？我们想指出克莱恩瓶(Klein bottle)是想象力和逻辑思维的数学产物，它可以在四维空间中实现，而不能在我们生活的三维空间中实现，像我们这样的三维生物也不能直观地感受到它。

，像莫比乌斯带一样，克莱因瓶也是封闭的，是一个二维曲面。然而，克莱因瓶由于其空间尺寸的增加而更加神奇。如果克莱恩的瓶子里生活着一种会飞的生物，它可以飞出封闭的瓶子内部，而不会越过瓶子的边界。

如前所述，在像莫比乌斯带和克莱因瓶这样的曲面上，物体可以通过移动变成它们自己的镜像，这也许是最有趣的地方。在这一点上，加莫夫在他的代表作《从一到无限》中有一个非常精彩的描述

镜像对称在我们的生活中很常见，例如，我们的手、镜像对称不能重叠，这也引出了一个非常重要的概念，即“手性”，学生和化学学生应该熟悉这个概念

想象一下，如果我们生活的空间类似于莫比乌斯带和克莱因瓶，那么如果我们移动的距离足够长，那么当我们回到原来的地方时，我们将成为我们自己的镜像。左手变成右手，左脑变成右脑，心脏也向右。这些都是显著的变化。然而，仍然有许多难以察觉的变化，其中包括“手性”

组成蛋白质的20个氨基酸中，除了甘氨酸，其他19个是左旋的，我们身体中的酶对由氨基酸组成的蛋白质的作用需要手性识别如果一个人在这种“镜像对称旅行”后回到地球，他将无法吃和消化地球上的食物，因为此时体内的酶只能作用于右手蛋白质。这种差异也将反映在其他有机分子中，如脱氧核糖核酸分子。由于手性差异，旅行归来的人已经与普通人形成了生殖隔离。这样，他们已经是另一个物种，就像来自另一个世界的外星人一样，但他们只是长途跋涉回到起点。对于这种想象，伽莫夫写道:

。然而，如果我们的三维空间也像莫比乌斯带一样扭曲，然后首尾相连，我们就可以达到同样的目的。也许有一家手套厂，为了降低成本，只生产右手手套，然后用宇宙飞船把一半的手套运送到宇宙的尽头去散步，当它们回来的时候就变成左手手套。

当然，这些只是想象，至于我们的宇宙中是否有这样的空间，现在似乎还不知道。然而，如此开阔的想象力已经充满了魔力和乐趣。