例如图1所示，在矩形ABCD中，p是CD边缘上的点( DP<； CP )、∠APB=90°、沿着AP折返△ADP，使△AD`P、PD `的延长线交点AB越过交点m，使BN//MP与交点n相交。
(1)要求证书: AD*2=DP×PC
(2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由
(3)如图2那样连接AC，将PM、PB分别交给点e、f，如果DP:AD=1:2，则求出EF:AE的值。
【想法分析】
(1)“AD*2=DP×PC”是相似三角形中的典型问题类型“积比”，首先转换为“比例式”: AD*2=DP×PC→AD:DP=PC:AD，如果图示这些线段( AD、DP、PC )，则图中容易理解具有数学典型的模型“第一线三垂直模型”，图中 在相似图形中出现“第一线三垂直模型”并且总是证明δADP -δPCB，得到AD:DP=PC:BC，利用等量置换( CB=AD )得到AD:DP=PC:AD，形成了证明第(1)小问题的完整构想线。
【解题过程】
【想法分析】
( CD//AB， 通过从PM//BN得知四边形PMBN为平行四边形，首先考虑用"相邻边相等的平行四边形为菱形"进行判别，仅通过证明PM=MB、即△PMB为等腰三角形，就能够如图3-2那样在主题条件下判别为" CD// 有AB---平行线”这一点联想到折叠问题中常见的数学典型模型“角平行线=二等边△”，如果能够证明PB是角平行线，则该问题得到解决，该问题的解题点证明了――Pb二等边――MPC，可以利用折叠的性质和馀角的性质来证明。
【解题过程】
【想法分析】
在第3题中遇到求线段比的问题，首先寻找类似三角形。 首先在图中找到与线段AE、EF图形最接近的类似典型图形。 在图中隐藏了两个类似的典型图形是容易发现的: 8字模型---图3-3中的δAEM -δCEP，图3-4中的δAFB -δCFP，以及这两组三角形中的哪四条线段决定参加比例。
解题经验“在问题中出现线段比，以设定参数的方法参加计算”，设定为DP=a，AD=2a，根据“解题构想的持续性”，第(1)、(2)问题的设定必须适用于第(3)小问题的论证过程。 由此，(1)的结论是PC=4a、DC=AB=5a的(2)的PM=MB以及△APB为直角三角形，因此直角三角形的斜边上的中心线成为斜边的一半、即m成为AB的中点的可能性高，能够容易地证明该结论的是AM=1/2AB=2.5a
此时，若说明图3-3、图3-4两组三角形类似相关的四条边涉及计算，则AE:EC=AM:PC=(2.5a):(4a)=5:8，AE:AC=5:13； 可以计算AE:FC=AB:PC=(5a):(4a)=5:4、AF:AC=5:9、AE=5/8AC、AF=5/9AC、EF=AF-AE=20/117AC和EF:AE的值
【解题过程】